Подразделы категории "Гордон": Турбулентность
Расшифровка передачиАлександр Гордон. …признавался, что, когда он предстанет перед Создателем, главная просьба, кото- рая у него будет, – открыть тайну турбулентности. По- скольку у меня накопились к Создателю другие вопро- сы, я пользуюсь случаем, адресую этот вам. В чем, собственно, тайна турбулентности? Почему это такой странный раздел в классической физике, который до сих пор необъясним. Или уже объясним? Владимир Захаров. Это был Теодор фон Карно, знаменитый механик. Действительно, была такая исто- рия: он был приглашен на конгресс по механике, ему нужно было сделать доклад о турбулентности, он вы- шел и в течение 40 минут молчал. Александр Гордон. Красноречивое молчание, вы не хотите повто- рить его? Владимир Захаров. Нет, почему? С тех пор много чего достигнуто. Я начну с того, что турбулентность – вещь, несомнен- но, всем знакомая. Хотя бы тем, кто в самолете летает. Периодически пилот говорит: мы входим в зону турбу- лентности. Чрезвычайно обыденное явление. Открой- те кран с водой? и если напор достаточно большой, то движение будет турбулентно, то есть хаотично, неупо- рядоченно. И совершенно ясно, что описать такое дви- жение в деталях невозможно. Это есть турбулентность в ее классическом понимании, то есть именно хаотиче- ское, неупорядоченное движение несжимаемой жид- кости. Так понимали турбулентность в 19 веке, со вре- мен работы Рейнольдса. Так понимает ее и сейчас ка- кая-то часть этого комьюнити. Но постепенно стало понятно, что турбулентность есть явление гораздо более общее. Очень остро встал этот вопрос, скажем, в начале 60-х годов, когда всем казалось, что еще немного – и мы построим реактор, который будет осуществлять управляемую термоядер- ную реакцию, то есть удерживать плазму. «Плазма» было тогда очень модным словом, как известно. Потом выяснилось, что плазма не удерживается в реакторах, в магнитных ловушках, потому что она турбулентна. И эта турбулентность есть совсем другая турбулент- ность. И знание о гидродинамической турбулентности, которое было к тому времени накоплено, уже недоста- точно. Тогда стала развиваться теория турбулентно- сти плазмы, а потом стало ясно, что бывает турбулент- ность и всяких других типов. Например, по мере раз- вития лазеров стало ясно, что существует оптическая турбулентность. Если лазер очень мощный и он про- ходит через стекло, то там луч света начинает рассеи- ваться хаотически, сам на себе, как говорится, в абсо- лютно прозрачной среде. Это есть оптическая турбу- лентность. Заметим, что поскольку свет – это волны, это турбу- лентность волн. И это есть отличие от гидродинами- ческой турбулентности, классической турбулентности, ибо там никаких волн нет. Жидкость считается несжи- маемой, значит, в ней волн – если нет свободной по- верхности – не существует, есть только вихри. Поэто- му эта вихревая турбулентность еще называется силь- ной. Волновая турбулентность еще называется – сла- бой. Но есть много очень общего и в той, и в другой тур- булентности. Вы видите сейчас классический пример сильной турбулентности, очень сильной. Здесь еще к тому же двухфазная среда. То есть это вода, переме- шанная с воздухом. И поэтому это тоже нестандарт- ный, хотя и очень обыденный пример турбулентности. Как построить статистическую теорию этого явления? Необыкновенно трудная задача, конечно. Грубо говоря, можно сказать, что есть вихревая тур- булентность в гидродинамике и волновая турбулент- ность там, где есть волны. На поверхности жидкости есть волны. Поэтому есть два типа турбулентности. Если вы рассматриваете масштабы очень большие, существенно больше длины волны, то там у вас эта си- стема описывается волнами, это волновая турбулент- ность. А это явление «опрокидывания волн» и в нем развивается сильная вихревая турбулентность. Потом стало ясно, что турбулентность можно пред- ставить себе где угодно. В жидком гелии, например, есть два типа звука – первый и второй, они тоже могут создавать волновую турбулентность. Можно волновую турбулентность возбуждать в твердых телах, в сверх- проводниках. Много разных типов турбулентности сей- час существует. Что характерно для них для всех? Это некое дви- жение сплошной среды, которое – поскольку оно ха- отическое – нужно описывать статистически, просле- дить за индивидуальным процессом абсолютно невоз- можно. Поэтому возникает идея, что это нечто похо- жее на статистическую физику, например, на газовую кинетику. Например, газ в этой студии – ведь это что такое? Движение молекул воздуха, и оно тоже совер- шенно хаотическое. Но, тем не менее, есть средние характеристики – плотность, температура. И мы зна- ем, как зависит температура от плотности. Это задача статистической физики. Есть еще общее: и турбулент- ность, и статистическая физика, она же термодинами- ка, грубо говоря, это сходные главы в физике, пото- му что они должны описывать статистически сложные хаотические процессы, которые должны описываться статистически. И тем не менее, статистическая физика в большой степени продвинута, множество задач там решено, то- гда как в турбулентности ситуация очень трудная. Ска- жем так, сильная вихревая турбулентность до сих пор осталась проблемой. И те вопросы, которые задавал себе Карно, на самом деле не имеют еще ответа, увы. А слабая турбулентность или волновая, она сей- час очень хорошо продвинута. Собственно, это и есть предмет моих исследований. Мы к этому еще вернем- ся. Тем не менее, между статистической физикой и тур- булентностью есть одно совершенно колоссальное от- личие. Причем не важно, какая это турбулентность, волновая или вихревая, это отличие все равно суще- ствует. В статистической физике центральную роль играет понятие статистического, термодинамического равновесия. Здесь, например, даже если вы рассмо- трите объем газа, размером, предположим, в 1000 ку- бических микронов, то уже в этом объеме есть равно- весие, там 1 микрон уже не будет. А в турбулентности есть стационарные состояния, но равновесия нет, турбулентность чрезвычайно дале- ка от равновесия. Потому что в турбулентности посто- янно происходит диссипация энергии. Я так это объяс- ню – я придумал такой забавный социологический ва- риант объяснения турбулентности. Представьте себе город, в котором есть люди и деньги. У каждого челове- ка есть какое-то количество денег. И люди как-то обме- ниваются этими деньгами. Если город обнесен стеной и стена совершенно непроницаемая, то через какое-то время установится равновесие. То есть люди облада- ют разными способностями обращаться с деньгами, у кого-то будет больше денег, у кого-то будет меньше де- нег, и возникнет некое стационарное распределение. Это и есть термодинамическое равновесие. И все время будут появляться какие-то очень бога- тые люди, те, у кого много денег – и ничего страшного, появляются, и появляются. А теперь представьте се- бе, что эта стена проницаемая. И что на самом деле есть возможность уйти из этого города, но нужно при этом заплатить очень высокую цену – тогда возникнет поток через эту самую стену. Причем если планка сто- ит очень высоко, уходить будут только самые богатые, да? Значит, эта функция распределения будет менять- ся. В турбулентности это и происходит. В самых ма- лых масштабах там происходит превращение энергии в тепло. Почему они должны уходить? Это есть след- ствие второго начала термодинамики. Нужно прийти в равновесие не только в этом городе, а во всем мире, и поэтому эти деньги востребованы остальной частью, «термостатом», как говорят. Кстати, тот пример, кото- рый я сейчас привожу, в статистической физике назы- вается «микроканонический ансамбль», когда все со- вершенно замкнуто. Теперь представим себе, что есть поток. Но тогда, чтобы было стационарное состояние, нужно эти день- ги непрерывно туда как-то производить, то есть вка- чивать. И представим себе, что в этом городе рожда- ются люди, и каждому выдается некоторое количе- ство денег при рождении – но существенно меньшее, чем то, которое нужно для того чтобы этот город поки- нуть. Предположим, 1 доллар. А чтобы покинуть, нуж- но 100 долларов. Значит, дальше будет происходить какой-то обмен. И постепенно установится стационар- ный спектр, то есть распределение капиталов по лю- дям. При этом возможны два существенно разных вари- анта. Заметим, что это абсолютно одинаково, это на- столько общая вещь, что она верна и для волновой турбулентности, и для вихревой. Это их объединяет – то, что есть такие потоки, то есть возникает поток денег из города. Это называется «прямой каскад». А дальше, чтобы описать этот каскад, мы должны как-то договориться о правилах игры. Предположим, никаких правил нет. И тогда можно, скажем, убивать людей и отбирать у них деньги. Естественно, тогда в результа- те не будет появляться бедных людей. Потому что ка- ждый человек, который имеет какие-то деньги, он втя- гивается в эту игру, он может быть либо убит, либо пой- ти дальше, стать более богатым. Еще дальше – он мо- жет либо быть убитым, либо стать более богатым. Это есть стационарный спектр. Эта картина была придума- на Колмогоровым, и спектр гидродинамической турбу- лентности известен как «колмогоровский спектр». Этот колмогоровский спектр во время войны, в 42-м году, был сформулирован Колмогоровым, а потом Обухо- вым. Предположим, что мы этих людей нумеруем ин- дексом К, который есть волновое число. Если люди – это вихри, у каждого вихря есть длина лямбда, два пи деленное на лямбда – это К, волновое число. Тогда энергетический спектр, то есть количество капиталов, получается равным К в степени минус пять третьих. Это знаменитый колмогоровский закон. Поразительно, что это до сих пор гипотеза, это не до- казанная вещь. Хотя Колмогоров это изобрел, анали- зируя экспериментальные данные, главным образом, по турбулентности в атмосфере. И он нашел этот за- кон экспериментально, потом придумал ему некоторое теоретическое обоснование, но оно не строгое с точ- ки зрения математики. Поэтому этот колмогоровский спектр, – совершенно знаменитая вещь – не есть точ- ное решение каких бы то ни было уравнений. Это толь- ко гипотеза, и, кстати говоря, все время подвергаемая сомнению, все время говорят, что, может быть, там не пять третьих, а, предположим, нужно еще добавить ноль ноль четыре. Но эксперименты становятся все точнее и точнее. Некоторое отклонение от колмогоровской теории уж точно обнаружены, но более тонкие. Александр Гордон. А в чем сложность постановки эксперимента? Владимир Захаров. Прежде всего в том, что нужно иметь большое число Рейнольдса, то есть нужно иметь систему доста- точно больших размеров. Потому что рождение этих вихрей происходит в масштабе, который задается раз- мерами системы, а размер диссипации, то есть тот раз- мер, при котором они превращаются в тепло или, ска- жем, уходят из города, выражаясь языком нашего при- мера, очень маленький. Для того чтобы померить этот колмогоровский спектр, нужно иметь как можно боль- шую разницу в этих масштабах. Если она, скажем, в 100 раз отличается, то это уже хорошо, где-то в атмо- сфере такие процессы наблюдаются. Но вообще я должен сказать, что эти эксперимен- ты можно осуществлять реально только в природных условиях, то есть в атмосфере или в проливах, там еще лучше возможности. Но все геофизические экспе- рименты всегда очень сложны, потому что они некон- тролируемы экспериментатором. Если у эксперимен- татора есть экспериментальная установка, то у него там множество всяких есть проволочек и ручек и он там все регулирует. А когда эксперимент ставит сама природа, то мы должны только, как говорится, ловить момент, когда условия соответствуют тому, чего мы хо- тим. Потому эксперименты всегда трудны. А численный эксперимент, даже на современных компьютерах, совершенно не позволяет приблизиться к каким-то реальным вещам. То есть, например, опи- сать процесс того, как я сейчас взмахнул очками в воз- духе, промоделировать это на компьютере невозмож- но. Не хватит никаких мощностей. Александр Гордон. То есть только идеальный профиль в идеальной среде. Владимир Захаров. Ну, в идеальной среде, но, тем не менее, все равно там остаются турбулентные следы, которые компьютером не моделируются. Мы понимаем теперь, что такое прямой каскад – это уход энергии за пределы системы в системе, где нет никаких правил игры. Иными словами, нет никаких до- полнительных законов сохранения. А теперь представьте себе такую вещь. Представь- те себе, что есть правила игры и запрещено убивать. Запрещено убивать, но можно обыгрывать в карты. И, скажем, собираются четверо и играют в карты. Один выиграл, остальные проиграли. Тогда по-прежнему бу- дет накопление, появление богатых, которые будут по- том исчезать, но одновременно будет накопление и ни- щих. Обыгранных, которых нельзя убивать. И поэтому возникнет накопление нищих, бедных, то есть волн с малой энергией. А волны с малой энергией имеют ма- лое волновое число, то есть большую длину – будут возникать большие масштабы. И если в классической картине турбулентности есть только прямой каскад, когда из больших масштабов появляются мелкие, то в турбулентности, в которой есть дополнительный за- кон сохранения (в данном случае запрещающий убий- ство), там будут появляться также большие масштабы. В основном, надо сказать, основная масса людей бу- дет превращаться в нищих. Это и есть обратный кас- кад, который открыли мы с Филоненко. Александр Гордон. То есть получается, что длинная волна отдает свою энергию? Владимир Захаров. В гидродинамической турбулентности большой масштаб отдает свою энергию мелким масштабам. Большой вихрь превращается в мелкие вихри и так далее, и так далее. Если же есть дополнительный за- кон сохранения, какой бы он ни был, тогда происходит обратный процесс – из коротких масштабов появляют- ся длинные. В частности, образование длинных волн во время шторма – это как раз совершенно классиче- ский пример обратного каскада. Там есть некий допол- нительный закон сохранения, хотя он почти невидим, он довольно глубоко скрыт. Это закон сохранения вол- нового действия. Этот обратный каскад и приводит к тому, что появляются длинные волны. Когда начинает- ся шторм, то в начале есть только короткие волны. Наверное, вы все это наблюдали: вы стоите на бере- гу, начинается ветер. Сначала появляются только ко- роткие волны, потом они становятся длиннее, длин- нее, длиннее, длиннее. Это и есть накопление волн с малой энергией, потому что при данном числе волн, энергия будет пропорциональна частоте, а у длинных волн и частота меньше – в этом дело. Поэтому этот обратный каскад есть явление интересное, и оно осу- ществляется в двумерной турбулентности. То, что мы сейчас видим – это классическая волно- вая турбулентность. Здесь есть прямой каскад и обрат- ный. Прямой каскад – это появление ряби. Если вы по- смотрите на картины всех художников-маринистов, ко- торые рисуют волны, вы увидите, что на этих волнах прорисована обязательно мелкая рябь. Это появле- ние ряби и есть прямой каскад. Эта рябь, так сказать, ведет энергию в область больших волновых чисел к диссипации. Она является слугой второго начала тер- модинамики. Потому что второе начало термодинами- ки стремится эту энергию диссипировать, уничтожить, распределить между молекулами, превратить в тепло. Но есть законы, запрещающие это. Это преобразова- ния ряби можно сделать только в мелких масштабах. Но поскольку здесь есть дополнительный закон сохра- нения, несущая длина волны автоматически удлиняет- ся, и возникают все более и более длинные волны. Каскад – это совершенно универсальное явление, в любом типе турбулентности всегда есть каскад. Александр Гордон. И в вихревом, и в волновом? Владимир Захаров. И в вихревом, и в волновом. В случае вихре- вой турбулентности есть вопрос, который до сих пор не имеет ответа – где этот каскад, как эта диссипация энергии распределена в пространстве? То есть, явля- ется ли она более или менее равномерной во всем объеме, либо наоборот – возникают какие-то малень- кие зоны, где энергия главным образом и диссипирует. Колмогоров утверждал (хотя вряд ли он ясно себе это представлял, но неявным образом в его теории заклю- чена такая идея), что это происходит равномерно. То- гда этот вопрос не задавали еще, но если бы его спро- сили, он бы, наверное, так и ответил, что «да, происхо- дит равномерное распределение». Если, скажем, на- рисовать диссипирующую энергию в виде светящейся материи, то это будет равномерное покрытие, распре- деление. А альтернативная точка зрения, что наоборот будут происходить отдельные вспышки, в которых дис- сипирует энергия. Но как на самом деле – никто не знает. И этот во- прос настолько важен, что сейчас установлена премия в миллион долларов тому, кто его решит. Он перефор- мулирован на математическом языке как вопрос о су- ществовании особенностей в уравнении Навье-Сток- са. Потому что если есть такая особенность, то это как раз и есть место, где происходит диссипация энергии. Множество народу стремится его решить. Этот вопрос является одной из десяти проблем, за которую в мате- матике назначена такая награда. Уже года 3 как про- изошло, но пока она никому не вручена. Так что волновая турбулентность значительно про- ще, вихревая турбулентность – гораздо более трудная проблема. И в ней действительно на эти вопросы нет пока ответа. Это связано с проблемой коллапса в ги- дродинамике, то есть с вопросом о возникновении осо- бенностей: могут ли возникать такие точки, в которых завихренность обращается в бесконечность. Это во- прос открытый и чрезвычайно важный. Есть много со- ображений, но пока окончательно вопрос не решен. Кроме того, стоит проблема чрезвычайно трудного чи- сленного счета. Александр Гордон. То есть там возникает сингулярность… Владимир Захаров. Да, возникает сингулярность или нет – это во- прос, на который в области изучения вихревой турбу- лентности нет ответа. А в волновой турбулентности, к счастью, все значительно проще. Там можно постро- ить замкнутую математическую теорию. И спектры, определяющие каскады энергии, найти аналитически точно, показать, что они суть точные решения неопре- деленных уравнений, исследовать потом их устойчи- вость, сравнить с экспериментом. Это все сделано и это, конечно, очень существенное достижение. Там то- же бывают сингулярности. Скажем, в этих волнах, ко- торые мы видим, возникает волна очень большой ам- плитуды. Я думаю, это какая-нибудь волна из тех, что называется «freakwaves», «странные волны», которые иногда возникают. Это тоже совершенно открытый во- прос. О нем я чуть позже скажу. Если вы посмотрите на море, скажем, при достаточ- но малой скорости ветра, грубо говоря, 6 метров в се- кунду (если скорость меньше 6-ти метров в секунду, то море гладкое, и на нем никаких барашков нет). А когда скорость ветра увеличивается, на море начинают по- являться отдельные белые зоны, это зоны, в которых уже происходит переход от слабой турбулентности к сильной, то есть возникают эти опрокидывания волн, и в нем, конечно, локально очень большая диссипа- ция. То есть на поверхности жидкости диссипация не- сомненно распределена неравномерно, распределена в отдельных случайных точках. Когда потом скорость увеличивается, они постепенно заполняют все море, но все равно это распределение весьма и весьма не- однородное и случайное. Здесь это, по крайней мере, видно и можно постро- ить теорию всего этого дела. А для вихревой турбу- лентности этот вопрос остается открытым. Александр Гордон. Вы хотели рассказать о девятом вале. Владимир Захаров. Девятый вал – это действительно совершенно разумный вопрос. Потому что если вы посмотрите за- пись волн в таком достаточно стандартном волнении, то увидите, что волны не равны друг другу, они раз- ные – есть распределение. Период этого распределе- ния более или менее известен, он связан с тем, что строго периодическая волна неустойчива, она из себя рождает модуляцию. Это и есть так называемая моду- ляционная неустойчивость. А вот сейчас вы видите развитие опрокидывания волны большой амплитуды. Здесь виден характерный клювик, а на нем очень сильная двухфазная турбу- лентность. Там воздух с водой перемешан – это и при- водит к тому, что возникают волны большой амплиту- ды. В этом смысле девятый вал – это наблюдение над реальностью, взятое из природы. Но там есть еще бо- лее интересный вопрос, вязанный с тем, что иногда возникают волны просто очень большой амплитуды. Александр Гордон. Те самые freakwaves. Владимир Захаров. Те самые freakwaves. Эти волны бывают очень большой амплитуды, они могут превышать по высоте, скажем, среднюю амплитуду в 4-5 раз. Александр Гордон. Откуда они взялись? Владимир Захаров. Этот вопрос до сих пор остается открытым. По- тому что на самом деле слабая турбулентность, вол- новая турбулентность имеет ограниченную область применимости. Скажем так, она описывает явление в среднем. Но, кроме того, бывают такие редкие явле- ния, которые уже не поддаются этому описанию. Есть функция распределения вероятности высоты волны. Для большинства волн она гауссова. Близка к гауссовому, к нормальному распределению. И эта часть описывается слабой турбулентностью прекрас- но. Но есть своего рода «хвосты» у функции распре- деления, это весьма редкое явление, и они сильно не- гауссовы. Именно в этих хвостах и сидят эти самые freakwaves. Как возникают эти хвосты – чрезвычайно интересная задача. Я собираюсь ей заниматься в бли- жайшее время. Потому что здесь методы слабой тур- булентности уже явно недостаточны. Мы встречаемся здесь с трудностями, сходными с теми, которые име- ются в теории вихревой турбулентности. При этом на- до сказать, что это, конечно, связано с океанскими те- чениями. Потому что существуют такие зоны в океане, куда вообще корабли стараются не заходить. Напри- мер, в Африке, к западу от Кейптауна есть такая зо- на, где все время возникают freakwaves. Это связано с тем, что там есть градиенты течения, это не чисто волновая система, они еще взаимодействуют с океан- скими течениями. И там очень часты катастрофы. Эта freakwaves может деформировать, скажем, палубу у авианосца. Это очень серьезная штука. Если эта вол- на в 20 метров… Александр Гордон. Когда я задавал вам вопрос в самом начале, в чем же состоит тайна турбулентности, я ожидал не только математического или физического обоснования загадочности этого явления. Есть нечто, вероятно, что выносит эту проблему за рамки математики и физики. Вы сами для того, чтобы ее проиллюстрировать, вы- брали аналогию города, людей, отношений и денег. У меня готов вопрос о социальной турбулентности, пото- му что уж очень явления переселения народов, обра- зования государств, изменения условий жизни похожи на хаотические вихревые, скажем, классические тур- булентности. Вы не находите? Владимир Захаров. Вы знаете, эти явления действительно близки к области описываемой теорией турбулентности, но все- таки они отдельны от нее. Это так называемые систе- мы с сильной диссипацией. Да, в общем, некоторые модели турбулентности могут быть прямо применимы к описанию социальных явлений, хотя, может быть, специалисты по социальным явлениям будут возра- жать, считая эти модели слишком простыми. Но ана- логия действительно есть, и я сам на это с большим интересом обратил внимание. Какое-то количество лет назад я со своими ученика- ми занимался турбулентностью в плазме. И мы обна- ружили, что можно построить модели даже более про- стые, чем классические модели волновой турбулент- ности – модели конкуренции мод. Скажем, в лазере, у вас есть первоначально некоторая спектральная ли- ния. Если излучает один атом, то он излучает достаточ- но широкий спектр излучения, у него форма линии. Но если много атомов поместить вместе и осуществить накачку, то есть сделать систему сильно неравновес- ной, так что она начнет генерировать лазерный свет, то в результате возникнет очень узкая спектральная ли- ния, значительно более узкая, чем линия… Александр Гордон. Одного отдельного атома. Владимир Захаров. Да. А почему? Потому что все спектральные моды конкурируют друг с другом, и в результате одна из них побеждает все остальные. И когда вы напише- те эту модель, то с удивлением обнаружите, что може- те дать ей немедленно социологическое обоснование, как некоторой модели конкуренции, скажем, игры на бирже. И потом можно изучить ее стационарное реше- ние и сделать некоторые предположения, которые уже не нравятся, скажем, социологам. Хотя я докладывал эту работу у социологов, у экономистов, точнее. Она вызвала у них довольно большой интерес, сейчас есть ее последователи в Германии. Получается, что это мо- дель либеральной экономики, хотя, конечно, и чрезвы- чайно упрощенная модель либеральной экономики. В этой модели либеральной экономики, когда вы изуча- ете ее равновесие, то выясняется, что в результате та- кой конкуренции капиталы концентрируются в несколь- ких руках. Это довольно грубый математический факт. Он, конечно, основан на сильных предположениях об аналитичности функций, которыми это описывается, а это вызывает сомнение, но, тем не менее, это доволь- но-таки фундаментальный математический факт. Что касается модели переселения, то здесь, дей- ствительно, есть определенные связи с такими моде- лями турбулентности. Понимаете, причиной переселе- ния народов был разный уровень рождаемости у раз- ных племен. Допустим, какое-то племя каким-то обра- зом повышает свой жизненный уровень так, что позво- ляет выжить большему количеству детей, чем у сосе- дей. Обычно у примитивных народов рождается очень много детей. Большая часть умирает, но если, предпо- ложим, выживают четверо-пятеро, то рост происходит по экспоненте. Экспонента – это очень мощный фак- тор. И тогда через 100 лет племя увеличивается, ска- жем, в 16 раз – грубо говоря. Им, естественно, не хва- тает пространства, они начинают двигаться. И движе- ние происходит во все стороны. Такие же явления возникают и во всех других фи- зических системах, где появляется такой процесс не- устойчивости. А дальше происходит диффузия. Это ближе всего к области физики, граничащей с хими- ей, это теория реакций, автоколебательных реакций. Например, волны на сердце так распространяются. В определенных химических системах есть такая ре- акция Белоусова-Жаботинского. На блюдечке вы со- здаете определенного рода смесь, и в ней возникают движущиеся волны. Это очень похоже на то явление, о котором мы говорим, когда возникают какие-то зо- ны, где одного вещества становится много, и оно дви- жется агрессивным образом. Есть такие модели. Но, тем не менее, так вот просто все это описать данной моделью невозможно. Здесь нужно проявлять боль- шую осторожность, разумеется. Но есть определенное сходство, да, что делать? Ведь это так называемая не- постижимая эффективность математики, о которой го- ворил Виннер. Совершенно удивительно, как простые математические модели оказываются универсальны- ми, насколько много явлений можно описать одной и той же моделью. Поэтому, когда я посмотрел модель конкуренции мод при таком ее применении, мне пришло в голо- ву, что ею можно описывать распределение денег при игре на бирже. Сначала мы к этому не отнеслись се- рьезно, но потом, когда посмотрели на результаты, то вывод оказался, я бы сказал, очень забавным. Александр Гордон. Вы сами не хотите воспользоваться своими предсказаниями? Владимир Захаров. Что значит – воспользоваться? Это не означает, что я умею это делать. Это совсем другое дело. Александр Гордон. Я почему начал говорить о переселении наро- дов. Ведь когда говорят – «волна переселения», то это очень близко к той картине, которую вы нарисовали при увеличивающемся ветре на поверхности океана. Необъяснимо, ни с того ни с сего возникают те самые точки диссипации, тот самый срыв волны, который вы- зывает накачку сначала региона, а потом и глобальную накачку – в тех пределах, конечно, которые к тому мо- менту известны. Владимир Захаров. Нет, эта модель непосредственно все-таки сю- да не подходит. Но есть другие модели, родственные им, которые подходят ближе. Но это уже детали, так сказать, «кухня»… Обзор темыОбщие сведения. Течения жидких и газообразных сред бывают двух типов: спокойные, плавные и нерегулярные, со значительным перемешиванием объемов среды и хаотическим изменением скоростей и других параметров. Первые называют ламинарными, а для вторые «турбулентными» (от английского слова turbulent — бурный, хотя предпочитают трактовать это слово, как беспорядочный). Большинство течений в природе и технике относятся именно ко второй, до сих пор наименее изученной группе. В этом случае применяют статистические (связанные с осреднением по времени и пространству) способы описания. Во-первых, потому, что практически невозможно уследить за пульсациями в каждой точке течения, а во-вторых, эти данные бесполезны: их нельзя использовать в конкретных приложениях. Поскольку турбулентность — одно из глубочайших явлений природы, при самом общем подходе к его изучению оно смыкается с философским проникновением в суть вещей. Знаменитый ученый Т. Карман очень образно охарактеризовал это, сказав, что, когда предстанет перед Создателем, первое откровение, о котором будет просить, — раскрыть тайны турбулентности. Наибольший практический интерес представляют такие течения, которые соответствуют весьма большим числам Рейнольдса Re. В эту безразмерную величину входят основная скорость (в струе — скорость истечения, для самолета — скорость полета), характерный линейный размер (диаметр сопла или хорда крыла) и вязкость среды. Число Рейнольдса определяет соотношение инерционных сил и сил трения (вязкости). Например, типичные значения этого числа в авиации таковы: Re=105-107. Вихревые течения воды и воздуха можно наблюдать в воде при обтекании препятствия: вода интенсивно вращается, образуя водовороты. За летящим самолетом можно отчетливо видеть два устойчивых следа: это с концов крыла сходят многокилометровые вихревые жгуты. Вихревые течения представляют собою вращающиеся объемы среды — воды, воздуха и т.д. Простейший математический образ, описывающий чисто вращательное движение жидкости, — тонкая прямолинейная нить бесконечной длины. Из соображений симметрии ясно, что во всех плоскостях, перпендикулярных нити, картина скоростей одинакова (плоскопараллельное течение). Кроме того, на любой окружности радиуса r с центром на нити скорость v будет направлена по касательной к окружности и постоянна по величине. Интенсивность вихря принято характеризовать циркуляцией скорости по замкнутому контуру, охватывающему вихрь. По мере приближения к оси вихря (т. е. при r = 0) скорость неограниченно возрастает как 1/r. Такую особенность принято называть сингулярной. Исследование турбулентности привело Н. Е. Жуковского к созданию основ современной теории аэродинамики. Эта теория сделалась основой авиации. Н. Е. Жуковский установил механизм образования подъемной силы крыла в идеальной жидкости, ввел понятие присоединенных (неподвижных относительно крыла) вихрей, стал родоначальником вихревого метода в аэродинамике. Согласно этому методу, крыло или летательный аппарат в расчетах заменяют системой присоединенных вихрей, которые в силу теоремы о сохранении циркуляции порождают свободные (не несущие) вихри, движущиеся вместе с жидкой средой. При этом задача сводится к определению интенсивности всех вихрей и положения свободных вихрей. Вихревой метод оказался особенно эффективным с появлением компьютеров и созданием численных методов. Значительным прогрессом в изучении фундаментальных проблем турбулентности мы обязаны, прежде всего, А. Н. Колмогорову и А. М. Обухову, их ученикам и последователям. При больших числах Re общепринятым стало понимание турбулентности как иерархии вихрей разных размеров, когда имеют место пульсации скорости потока от больших до самых малых значений. Крупномасштабная турбулентность определяется формой обтекаемого тела или конфигурацией сопла, откуда вытекает струя, режимом истечения, состоянием внешней среды. Вязкость среды учитывается или не учитывается в зависимости от каждой конкретной задачи. По Колмогорову строение мелкомасштабной развитой турбулентности в значительной степени описывается универсальными закономерностями. Доказано, что в области достаточно малых масштабов должен господствовать статистический универсальный режим, практически стационарный и однородный. Обосновано также существование некоторого промежуточного режима турбулентности — инерционного, возникающего на масштабах, малых по сравнению с характерным размером течения в целом, но больших, чем тот микромасштаб, где уже существенны явления вязкости. Таким образом, в этом интервале, как и в начальной стадии турбулентности, вязкость среды можно не учитывать. Однако, в рамках классического подхода гидродинамики общая теория турбулентности, которая содержала бы не только качественное описание основных процессов, но и количественные соотношения, позволяющие определять турбулентные характеристики, далеко не завершена. Задачи же, возникающие в связи с разнообразными техническими приложениями, решаются приближенно, с помощью численных методов. В результате стала интенсивно развиваться так называемая полуэмпирическая теория турбулентности, в которой наряду с теоретическими закономерностями и расчетами используются экспериментальные данные. Из книги Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Гидродинамика»: Развитая турбулентность. Турбулентное движение жидкости при достаточно больших значениях числа Рейнольдса характерно чрезвычайно нерегулярным, беспорядочным изменением скорости со временем в каждой точке потока (развитая турбулентность); скорость все время пульсирует около некоторого своего среднего значения. Такое же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке потока, рассматриваемого в заданный момент времени. В настоящее время полной количественной теории развитой турбулентности еще не существует. Известен, однако, ряд важных качественных результатов. Введем понятие о средней скорости движения, получающейся в результате усреднения по большим промежуткам времени истинной скорости в каждой точке пространства. При таком усреднении нерегулярность изменения скорости сглаживается, и средняя скорость оказывается плавно меняющейся вдоль потока функцией. Будем в дальнейшем обозначать среднюю скорость буквой u. Разность v’ = v — u между истинной и средней скоростями, обнаруживающую характерное для турбулентности нерегулярное изменение, будем называть пульсационной частью скорости. Рассмотрим подробнее характер накладывающегося на усредненный поток нерегулярного, пульсационного, движения. Это движение можно в свою очередь качественно рассматривать как результат наложения движений (турбулентных пульсаций) различных, как мы будем говорить, масштабов (под масштабом движения подразумевается порядок величины тех расстояний, на протяжении которых существенно меняется скорость движения). По мере возрастания числа Рейнольдса появляются сначала крупномасштабные пульсации; чем меньше масштаб движения, тем позже такие пульсации появляются. При очень больших числах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до очень малых. Основную же роль в турбулентном потоке играют крупномасштабные пульсации, масштаб которых — порядка величины характеристических длин, определяющих размеры области, в которой происходит турбулентное движение; в дальнейшем будем обозначать порядок величины этого основного (или внешнего) масштаба турбулентного движения посредством l. Эти крупномасштабные движения обладают наибольшими амплитудами. Их скорость по порядку величины сравнима с изменениями Δu средней скорости на протяжении расстояний l (мы говорим здесь о порядке величины не самой скорости, а ее изменения, поскольку именно оно характеризует скорость турбулентного движения; абсолютная же величина средней скорости может быть произвольной в зависимости от того, в какой системе отсчета рассматривается движение). Что же касается частот этих крупномасштабных пульсаций, то они — порядка отношения u/1 средней скорости и (а не ее изменения Δu) к размерам I. Действительно, частота определяет период повторяемости картины движения, наблюдаемой из некоторой неподвижной системы отсчета. Но относительно такой системы вся эта картина движется вместе со всей жидкостью со скоростью порядка u. Мелкомасштабные же пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно меньшими амплитудами. Их можно рассматривать как мелкую детальную структуру, накладывающуюся на основные крупномасштабные турбулентные движения. В мелкомасштабных пульсациях заключена лишь сравнительно малая часть всей кинетической энергии жидкости. Из описанной картины турбулентного движения можно сделать заключение о характере изменения пульсационной скорости вдоль потока (рассматриваемого в заданный момент времени). На протяжении больших расстояний (сравнимых с l) изменение пульсационной скорости определяется изменением скорости крупномасштабных пульсаций и потому сравнимо по величине с Δu. На малых же (по сравнению с l) расстояниях оно определяется мелкомасштабными пульсациями и потому мало по сравнению с Δu (но велико по сравнению с изменением средней скорости на том же малом расстоянии). Такая же картина имеет место, если наблюдать изменение скорости со временем в заданной точке пространства. На протяжении малых (по сравнению с характеристическим временем Т ~ l/u) интервалов времени скорость испытывает незначительные изменения; в течение же больших промежутков времени скорость меняется на величины ~Δu. В число Рейнольдса R, определяющее свойства течения жидкости в целом, в качестве характеристических размеров входит длина I. Наряду с таким числом, можно ввести качественное понятие о числах Рейнольдса RΛ турбулентных пульсаций различных масштабов. Если Λ-масштаб пульсаций, a VΛ-порядок величины их скорости, то число Рейнольдса RΛ тем меньше, чем меньше масштаб движения. RΛ обратно пропорциональны вязкости. При больших R велики также и числа Рейнольдса RΛ крупномасштабных пульсаций. Но большие числа Рейнольдса эквивалентны малым вязкостям. Отсюда можно заключить, что для крупномасштабного движения, являющегося как раз основным во всяком турбулентном потоке, вязкость жидкости не играет роли. Поэтому в крупномасштабных пульсациях не происходит и заметной диссипации энергии. Вязкость жидкости становится существенной только для самых мелкомасштабных пульсации, для которых RΛ ~ 1 (масштаб ΛО этих пульсаций будет определен ниже). Именно в этих мелкомасштабных пульсациях, не существенных с точки зрения общей картины движения жидкости в турбулентном потоке, и происходит диссипация энергии. Мы приходим, таким образом, к следующему представлению о диссипации энергии при турбулентном движении. От пульсаций с большими масштабами энергия переходит в пульсации с меньшими масштабами, практически не диссипируясь при этом. Можно сказать, что имеется как бы непрерывный поток энергии от крупно- к мелкомасштабным пульсациям, то есть от малых частот к большим. Этот поток диссипируется, то есть кинетическая энергия переходит в тепло, в самых мелкомасштабных пульсациях. Разумеется, для поддержания «стационарного» состояния потока необходимо наличие внешних источников энергии, непрерывно передающих ее основному крупномасштабному движению. Поскольку вязкость жидкости существенна только для самых мелкомасштабных пульсаций, то можно утверждать, что все величины, относящиеся к турбулентному движению в масштабах Λ много больших ΛО, не могут зависеть от вязкости (более точно, эти величины не должны меняться при изменении вязкости и неизменных остальных условиях, в которых происходит движение). Это обстоятельство сужает круг величин, определяющих свойства турбулентного движения, в результате чего для исследования турбулентности приобретают большое значение соображения подобия, связанные с размерностью имеющихся в нашем распоряжении величин. Применим такие соображения к определению порядка величины диссипации энергии при турбулентном движении. Пусть ε есть среднее количество энергии, диссипируемой в единицу времени в единице массы жидкости. Мы видели, что эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях масштаба ~Λо. Поэтому, несмотря на то, что диссипация обязана в конце концов вязкости жидкости, порядок величины e может быть определен с помощью одних только величин, характерных для крупномасштабных движений. Таковыми являются плотность жидкости р, размеры l и скорость Δu. Из этих трех величин можно составить всего одну комбинацию, обладающую той же размерностью, что и ε, т. е. эрг/(г-с) = см2/с3. Таким способом получаем, что ε прямо пропорциональна кубу Δu и обратно пропорциональна l, чем определяется порядок величины диссипации энергии в турбулентном потоке. Турбулентно движущуюся жидкость можно в некоторых отношениях качественно описывать как жидкость, обладающую некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью, отличной от истинной кинематической вязкости. Характеризуя свойства турбулентного движения, турбулентная вязкость должна по порядку величины определяться величинами р, Δu, I. Единственной составленной из них величиной с размерностью кинематической вязкости является Δu•I, поэтому турбулентная вязкость прямо пропорциональна именно этой величине. Отношение турбулентной вязкости к обычной растет с числом Рейнольдса. Диссипация энергии выражается через турбулентную вязкость в соответствии с обычным определением. Перейдем теперь к изучению свойств развитой турбулентности в масштабах Λ, малых по сравнению с основным масштабом l. Об этих свойствах говорят как о локальных свойствах турбулентности. При этом мы будем рассматривать жидкость вдали от твердых стенок, — точнее, на расстояниях от них, больших по сравнению c Λ. О такой мелкомасштабной турбулентности вдали от твердых тел можно высказать естественное предположение, что она обладает свойствами однородности и изотропии. Последнее означает, что в участках, размеры которых малы по сравнению с l, свойства турбулентного движения одинаковы по всем направлениям; в частности, они не зависят от направления скорости усредненного движения. Подчеркнем, что здесь и везде ниже, где говорится о свойствах турбулентного движения в малом участке жидкости, подразумевается относительное движение жидких частиц в этом участке, а не абсолютное движение, в котором принимает участие весь участок в целом и которое связано с движением более крупных масштабов. Оказывается возможным получить ряд существенных результатов о локальных свойствах турбулентности непосредственно из соображений подобия. Какими параметрами могут вообще определяться свойства турбулентного движения в участках, малых по сравнению с l, но больших по сравнению с расстояниями Λо, на которых начинает играть роль вязкость жидкости? Этими параметрами является плотность р жидкости и, кроме того, еще одна характерная для турбулентного потока величина- энергия ε, диссипируемая в единицу времени в единице массы жидкости. e представляет собой поток энергии, непрерывно передаваемой от пульсаций с большими к пульсациям с меньшими масштабами. Поэтому, хотя диссипация энергии и обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости и происходит в самых мелкомасштабных пульсациях, тем не менее величина ε определяет свойства движения и в больших масштабах. Что касается масштабов l и Δu размеров и скорости движения в целом, то естественно считать, что (при заданных р и ε) локальные свойства турбулентности от этих величии не зависят. Вязкость жидкости тоже не может входить ни в какие интересующие нас теперь величины (напоминаем, что речь идет о расстояниях Λ много больших, чем Λо). При описанных условиях изменение скорости на протяжении малого расстояния пропорционально кубическому корню из этого расстояния (закон Колмогорова-Обухова). Изменение средней скорости на малых расстояниях мало по сравнению с изменением пульсационной скорости на этих же расстояниях, и им можно пренебречь. Из статей академика В. Е. Захарова: Многие ученые считают, что построение строгой в математическом смысле теории затруднено еще и тем, что едва ли возможно дать исчерпывающее определение самой турбулентности. Однако, в современной науке, изучающей явление турбулентности в различных средах, наметился значительный прогресс, в связи с созданием теории волновой турбулентности. Еще в 1966 году В. Е. Захаров впервые предложил новый подход к пониманию турбулентности в своей диссертации «Некоторые вопросы нелинейной теории поверхностных волн». Научным руководителем В. Е. Захарова тогда был профессор Р. З. Сагдеев. Успехи теории волн в нелинейных средах с дисперсией в значительной степени обусловлены широким использованием аналогий с квантовой теорией частиц. Суть этих аналогий в том, что классическое волновое поле можно трактовать как квантованное бозе-поле в пределе больших чисел заполнения. Этот подход оказался особенно плодотворным для нелинейных волн в плазме, где на основании квантовых аналогий исследована устойчивость периодических волн конечной амплитуды, и получены кинетические уравнения для волн, описывающие турбулентные состояния плазмы (теория слабой турбулентности плазмы). Владимир Захаров разработал приложения некоторых идей теории многих частиц, в частности, к задаче о нелинейных волнах на поверхности бесконечно глубокой жидкости. Теория таких волн является одним из классических разделов гидродинамики, берущим начало от работ Стокса, причем основное внимание обращалось на проблему существования при тех или иных условиях периодических волн конечной амплитуды. В. Захаров рассмотрел вопросы устойчивости периодических волн конечной амплитуды, проблемы статистического описания волн, получил точные выражения для энергетического спектра слабой турбулентности поверхностных волн, аналогичных колмогоровскому спектру в обычной турбулентности. При этом, наряду с полем тяжести были учтены эффекты поверхностного натяжения. При условии малой нелинейности удалось исследовать неустойчивость периодической волны конечной амплитуды. Прежде всего, это распадные неустойчивости, аналогичные тем, которые известны для нелинейных волн в плазме — разные типы распадных неустойчивостей рассматриваются для капиллярных и гравитационных волн. Кроме распадных наблюдаются еще неустойчивости, обусловленные коллективным взаимодействием квазичастиц. Они аналогичны неустойчивости основного состояния бозе-газа с притяжением (неустойчивость отрицательного давления). Далее, стационарные «волны огибания», распространяющиеся по периодической волне конечной амплитуды — это могут быть установившиеся периодические волны конечной амплитуды. Кроме них в устойчивом случае существуют уединенные волны разряжения, аналогичные тем, которые могут распространяться в плазме. В неустойчивом случае возможны решения типа уединенных пакетов, распространяющиеся без искажения своей формы. Эти пакеты можно представить себе, как результат развития неустойчивости периодической волны конечной амплитуды. Все эти типы волн являются квазистатическими, то есть их длины велики по сравнению с длиной исходной волны. При изучении волновой турбулентности используется статистический подход (статистическая теория поверхностных волн). В основу статистического описания берется предположение о хаотичности фаз различных колебаний. При этом волновое поле описывается величиной, имеющей физический смысл плотности квазичастиц в фазовом пространстве. Для получения уравнений волновой турбулентности В. Захаров расцепляет бесконечную цепочку корреляционных функций, выражая четвертые корреляции через двойные. При этом получается кинетическое уравнение со столкновительным членом, описывающим распады квазичастиц. Это уравнение пригодно для капиллярных волн. Для гравитационных волн распадный столкновительный член обращается в ноль, тогда необходимо обращаться к корреляциям более высокого порядка и выделять коллективное взаимодействие волн, приводящее к взаимному сдвигу их частот. После этого легко получается кинетическое уравнение со столкновительным членом, описывающее рассеяние квазичастиц. При исследовании волновых полей слабой турбулентности (стохастизированных полей) устанавливается далеко идущая аналогия между слабой турбулентностью поверхностных волн и турбулентностью несжимаемой жидкости. В рамках теории слабой турбулентности, т. е. стохастической теории нелинейных волн, в частности, была решена задача о слабой турбулентности капиллярных волн. В теории слабой турбулентности нелинейность волн предполагается малой, что позволяет, используя гипотезу о случайности фаз отдельных волн, получить кинетическое уравнение для средних квадратов амплитуд волн. Во многих случаях слабой турбулентности возникает ситуация, когда затухание существенно в области больших волновых чисел и отделено от области, где сосредоточена основная энергия волн (следствие накачки либо начальных условий) широкой областью прозрачности. В рамках гипотезы, что слабая турбулентность в этих случаях вполне аналогична гидродинамической турбулентности при больших числах Рейнольдса в том смысле, что в области прозрачности устанавливается универсальный спектр, определяемый только потоком энергии в область больших волновых чисел. Спектр гидродинамической турбулентности ε ~ k-5/3 был получен А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым из соображений размерности. В случае слабой турбулентности спектр получается как точное решение стационарного кинетического уравнения. В. Е. Захаровым и Н. Н. Филоненко был рассмотрен случай слабой турбулентности капиллярных волн на поверхности жидкости. Было получено кинетическое уравнение для капиллярных волн на основе закона дисперсии волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости, с учетом поверхностного натяжения. Плотность жидкости была положена равной единице. Существенно, что в этом случае оказалось, что основной вклад во взаимодействие дают процессы распада волны на две и слияние двух волн в одну. Кроме того, было показано, что столкновительный член кинетического уравнения обращается в руль решением ε ~ k-7/4. Тогда же были высказаны соображения в пользу того, что это решение можно интерпретировать как универсальный спектр в области прозрачности. Ключевые слова Капиллярные волны — волны на поверхности воды с длиной волны менее одного-двух сантиметров. Гравитационные волны — волны на поверхности воды с длиной волны более двух сантиметров. Вихревые жгуты — компактные вихревые структуры, образующие длинный след за самолетом. Вихревые течения — вращающиеся объемы жидкой среды. Когерентные вихревые структуры — крупно масштабные квазиустойчивые вихревые образования. Пульсации скоростей среды — добавки к средним значениям скоростей среды, меняющиеся во времени. Турбулентность — нерегулярные течения среды с сильным перемешиванием и хаотическим изменением параметров. Диссипация энергии — здесь — переход части энергии упорядоченных процессов в энергию неупорядоченных процессов, в частности, в тепло. БиблиографияЗахаров В. Е. Слабая турбулентность в средах с распадными спектрами // ПМТФ. 1965. № 4 Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. Спектр энергии стохастических гравитационных волн // Докл. АН СССР. 1966. Т. 170. №6 Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. Слабая турбулентность капиллярных волн // ПМТФ. 1967. №5 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Т. 4. М., 2001 Zakharov V., Filonenko N. The energy spectrum for stochastic oscillations of a fluid surface // Doclady Akad. Nauk SSSR. 1966. № 170 Zakharov V, Filonenko N. Weak turbulence of capillary waves // Prikl. Mekh. Tekh. Fiz. 1967. № 5 Zakharov V., Zaslavski M. Ranges for generation and dissipation in the kinetic equation for a low-turbulence theory of wind waves // Izv. Atm. Ocean. Phys. 1982. № 18 Zakharov V., Newell A. Rough sea foam // Phys. Rev. Lett. 1992 № 69 Zakharov V, Kuznetsov E. Hamiltonian formalism for nonlinear waves // Uspechi Fiz. Nauk. 1997. V. 167. № 11 Zakharov V. Statistical Theory of Gravity and Capillary Waves on the Surface of a Finite-Depth Fluid // Eur. J. Mech. Fluids. 1999. V. 18. №3 Zakharov V., Pushkarev F. Turbulence of capillary waves — theory and numerical simulation // Physica. 2000. V. 135
|
Копи царя Соломона
Фундаментальная разведка. Леонид Квасников
Супер наука: Стволовые клетки
Миры и Вселенные
Интеллект-видео. 2010. RSS
|
|